В математике выражение "сумма кратна" означает, что результат сложения чисел делится на определенное число без остатка. Это понятие широко используется в арифметике, теории чисел и алгебре.
Содержание
В математике выражение "сумма кратна" означает, что результат сложения чисел делится на определенное число без остатка. Это понятие широко используется в арифметике, теории чисел и алгебре.
Основное определение
Говорят, что сумма чисел кратна некоторому числу d, если существует целое число k, такое что:
a1 + a2 + ... + an = d × k
Примеры кратности сумм
| Сумма | Кратна числу | Проверка |
| 12 + 18 = 30 | 3 | 30 ÷ 3 = 10 (целое) |
| 7 + 8 + 10 = 25 | 5 | 25 ÷ 5 = 5 (целое) |
| 14 + 21 = 35 | 7 | 35 ÷ 7 = 5 (целое) |
Свойства кратных сумм
- Если каждое слагаемое кратно d, то и сумма кратна d
- Сумма может быть кратна d, даже если отдельные слагаемые не кратны d
- Если сумма кратна d, то остаток от деления суммы на d равен 0
Признаки кратности
Для быстрой проверки кратности суммы часто используют признаки делимости:
- Кратность 2: последняя цифра суммы четная
- Кратность 3: сумма цифр суммы кратна 3
- Кратность 5: сумма оканчивается на 0 или 5
- Кратность 9: сумма цифр суммы кратна 9
Практическое применение
В математике
- Доказательство теорем в теории чисел
- Решение уравнений в целых числах
- Проверка правильности вычислений
В реальной жизни
- Проверка контрольных сумм
- Банковские расчеты и проверка транзакций
- Кодирование информации
Пример задачи
Докажите, что сумма трех последовательных натуральных чисел кратна 3.
Решение:
Пусть числа: n, n+1, n+2. Их сумма: n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n + 1) - очевидно кратна 3.
Важное замечание
Понятие кратности суммы не следует путать с кратностью отдельных слагаемых. Сумма может быть кратна числу, даже если ни одно из слагаемых не кратно этому числу.
